Le grand Quiz Maths de Roger Mansuy, épisode 2 – Myriogon #22
Il existe un nombre, différent pour chaque maladie, qui est appelé « erre à zéro » et indique les personnes qui, en moyenne, chaque individu infecté infecte: si ce chiffre est inférieur à 1, la propagation s’arrête d’elle-même
par Paolo Giordano
Le calcul de la contagion est simple. Aussi simple que crucial. Maintenant que nous avons appris à bien nous laver les mains, le deuxième aspect vers lequel nous devons nous tourner est, de façon surprenante, les mathématiques. Si nous abandonnons l’effort, nous risquons de ne pas comprendre grand-chose de ce qui nous arrive et de nous laisser prendre, comme beaucoup en ces heures, par des suggestions infondées.
Pour commencer, divisons-nous en trois groupes. Un secret des mathématiques est de ne jamais aller trop loin pour les subtils, et les mathématiques des coronavirus distinguent la population, nous tous, d’une manière grossière: il y a les Susceptibles (S), c’est-à-dire les personnes qui pourraient être infectées; les infectés (I), c’est-à-dire ceux qui ont déjà été infectés; et les guéris, les Récupérés (R), c’est-à-dire ceux qui ont été infectés, en sont sortis et ne transmettent plus le virus. Chacun de nous est capable de se reconnaître instantanément dans une de ces catégories, dont les initiales forment le nom du modèle vers lequel les épidémiologistes se tournent ces dernières semaines comme un oracle: le modèle SIR. Terminer.
Ok, pas vraiment une fin. Il manque au moins un autre concept. À l’intérieur du modèle SIR, à l’intérieur du cœur de chaque infection, un nombre est caché, différent pour chaque maladie. Ces derniers jours, il a surgi ici et là dans les discussions et les articles. Il est conventionnellement appelé R 0, « errer avec zéro », et sa signification est facile à interpréter: R 0 est le nombre de personnes que, en moyenne, chaque individu infecté infecte à son tour. Pour la rougeole, par exemple, R 0 est estimé à environ 15. C’est-à-dire que lors d’une épidémie de rougeole, une personne infectée infecte en moyenne quinze autres, si aucune n’est vaccinée. Pour les oreillons, R 0 est d’environ 10. Pour notre coronavirus, l’estimation de R 0 est d’environ 2,5. Ici, quelqu’un saute immédiatement aux conclusions et arrête de lire: «Hourra! C’est bas! Au diable les maths! ». Pas exactement. L’influence espagnole R 0, celle de 1918, a été calculée rétrospectivement autour de 2,1.
Mais pour l’instant, nous ne voulons pas nous précipiter pour déterminer si l’âge zéro du coronavirus est élevé ou bas. Il faut savoir, plus généralement, que les choses vont vraiment bien quand R 0 est inférieur à 1. Si chaque infecté n’infecte pas au moins une autre personne, la propagation s’arrête d’elle-même, la maladie est un feu de paille, un éclatement sous vide. Si, au contraire, R 0 est supérieur à 1, même légèrement, nous sommes en présence d’un principe épidémique.
Pour le visualiser, imaginez simplement que les personnes infectées sont des billes. Un marbre solitaire, l’infâme patient zéro, est lancé et en frappe deux autres. Chacun d’eux en affecte deux autres, qui à leur tour en affectent deux de plus chacun. Etcetera. C’est ce qu’on appelle la croissance exponentielle, et c’est le début de chaque épidémie. Au cours de la première période, de plus en plus de personnes sont infectées de plus en plus vite. La vitesse à laquelle cela dépend de la taille de R 0 et d’une autre variable fondamentale de ces mathématiques transparentes et décisives: le temps moyen qui s’écoule entre le moment où une personne est infectée et le moment où cette même personne infecte une autre – une fenêtre orage qui, dans le cas de Covid-19, est estimé à environ sept jours.
Fin, pour de vrai. Ayant absorbé cette petite information, nous pouvons résumer tous les efforts institutionnels, toutes les mesures « draconiennes », les quarantaines, la fermeture des écoles et des théâtres et des musées, les rues vides, dans une seule intention mathématique: baisser la valeur de R 0. C’est ce que nous faisons avec nos sacrifices douloureux. Parce que lorsque R 0 baisse, l’expansion ralentit. Et lorsque R 0 est minutieusement ramené en dessous de la valeur critique de 1, la diffusion commence à s’arrêter. A partir de ce moment, c’est l’épidémie elle-même, et non plus les personnes, qui suffoque.
Quelle exagération!
Ces derniers jours, une faille s’est ouverte entre ceux qui acceptent avec humilité ce qui est arrangé d’en haut et ceux qui crient à l’exagération, à la folie, à la « psychose collective ». Ou peut-être qu’il ne crie même pas, il adopte une attitude plus méprisante, plus intellectuelle, comme pour dire « des idiots stupides, ils se laissent duper », ce qui est fondamentalement la même chose. Ce type de scepticisme est transversal, il ne dépend pas du niveau d’éducation, ni de l’origine ou de l’âge – peut-être un peu d’âge, les adultes-adultes semblent particulièrement enclins. En tout cas, c’est une attitude humaine, et elle est particulièrement en vogue à notre époque. Mais quiconque insiste sur le fait que le confinement exceptionnel mis en place est « exagéré » n’a pas compris les mathématiques. Ou il l’a dénaturé.
REGARDEZ LE GRAPHIQUE
Coronavirus, la carte de la contagion en Italie
Un malentendu courant, par exemple, découle de la comparaison proposée avec l’influence saisonnière. Ce à quoi Covid-19 ressemble à la grippe saisonnière, c’est la contagion, le fait qu’elle se produit par l’échange de gouttelettes projetées dans l’air par les éternuements et la toux. Et il y a bien sûr des symptômes généraux qui se confondent – une confusion qui a causé des retards dans le confinement initial, ainsi que des incidents désagréables tels que celui de l’hôpital de Codogno. Mais pour le moment, rien ne prouve que le coronavirus doive avoir un pic saisonnier autonome puis reculer, comme les influences ordinaires.
Concernant le pic des infections, quelqu’un d’autre a été trompé par la nouvelle qu’en Chine, il a déjà été surmonté. Et que cela arrivera très bientôt aussi chez nous. C’est l’interprétation incorrecte d’une donnée. Il serait plus juste de dire qu’un «pic», le premier, a été atteint et dépassé en Chine. Cela s’est produit précisément et exclusivement en raison des mesures hyper-restrictives que la Chine a appliquées, c’est-à-dire de bloquer quelques centaines de millions de personnes chez elles. Pas à cause d’une caractéristique intrinsèque de la maladie. Bref, R 0, en Chine puis chez nous, a déjà été traîné de force. Et maintenant, il est maintenu bas par la force, comme si tout le monde, obéissant aux institutions, appuyait sur le couvercle d’une marmite pleine d’eau bouillante.
Au moment où les mesures seront assouplies, en Chine comme ici, R 0 devrait retrouver sa valeur « naturelle » de 2,5. La contagion commencerait à se propager de façon exponentielle. Les épidémiologistes savent que la seule façon d’arrêter sérieusement une épidémie est que le nombre de personnes sensibles devienne suffisamment faible pour rendre la contagion improbable. Par exemple lorsque la population est vaccinée. Les vaccins nous font passer de sensible à récupéré sans même passer par la maladie. Mais ce n’est pas le cas pour le moment. Covid-19 est encore trop nouveau pour nous les humains. Il est passé d’une chauve-souris à un autre animal, peut-être un serpent, où les deux codes génétiques ont été mélangés d’une manière malheureuse, et de ce deuxième invité, il a fait un autre bond, sur l’homme, avec la même accusation de nouveauté qu’un astéroïde. qui précipite un élément chimique inconnu sur Terre. Nous n’avons pas d’anticorps efficaces et nous n’avons pas de vaccins. Nous n’avons même pas de statistiques. Traduit dans le modèle SIR, cela signifie que nous sommes toujours tous sensibles.
Question dans le test de mathématiques: « Combien de Susceptibles y a-t-il à Covid-19 aujourd’hui? » Réponse: « Un peu plus de sept milliards ».
Prévisions météo
Une autre aberration concerne la fureur des médias à propos du «patient zéro» en Italie. « Patient zéro » est un titre parfait pour une série Netflix dystopique ou un film zombie, et en fait il existe déjà. Mais le patient zéro italien n’a plus d’intérêt pour les épidémiologistes depuis quelques jours. De ce point d’origine fantôme, des lignes secondaires et tertiaires se sont déjà ramifiées, des trajectoires silencieuses de contagion, dont beaucoup sont probablement latentes. À Florence, en Ligurie, en Allemagne, aux États-Unis, qui sait où.
Et enfin, il y a l’algèbre du danger, qui est également trompeuse. En divisant le nombre de décès par le nombre d’épidémies, un résultat n’est pas impressionné: zéro virgule zéro quelque chose. Traduit: « Vous ne mourrez pas de toute façon! » Les virologues se tarissent la gorge en répétant que le vrai problème en est un autre.
Étude complète d’une fonction logarithme f(x)=ln(x²+1)-x – limite dérivée signe – Terminale
Le taux d’hospitalisation requis pour Covid-19 est en effet assez élevé. Si tous ou la plupart des Susceptibles deviennent infectés trop rapidement, notre système de santé subirait une collision dangereuse. Il n’est pas évident que nous disposerions des ressources nécessaires pour faire face à une telle éventualité. Il n’est pas évident que nous n’allions pas détraquer.Les actions « exagérées » entreprises en Chine et maintenant avec nous sont basées sur des scénarios qui sont également mathématiques. Pas sur des mesures étendues, pas sur des impressions vagues ou une hystérie de masse. Alessandro Vespignani, qui développe ces scénarios à la Northwestern University de Boston, m’a dit: « C’est comme pour les prévisions météo ». À la base des simulations se trouve le modèle SIR simple que nous avons décrit, mais la théorie est appliquée à la situation réelle de notre planète, de notre société. Toutes les données disponibles sont utilisées pour alimenter le modèle avec la réalité: les cartes satellites de la NASA, les itinéraires de vol et le nombre de leurs passagers, des informations sur chaque interaction humaine mesurable et même certaines mesures correctives psychologiques, telles que la peur, la panique, prudence. Voici un domaine où le Big Data est utilisé pour sauver nos vies. Les simulations, une fois lancées, montrent comment l’épidémie se développera dans les jours suivants dans certaines marges d’erreur, si elle deviendra une pandémie ou au contraire disparaîtra. De ces analyses découlent les décisions des gouvernements. Levez la main maintenant, qui ne croit pas du tout au temps, qui planifierait un voyage à la mer demain, sachant que ilMeteo.it donne 90% de probabilité d’une inondation.
Susceptible et suspect
Voici un fait curieux: la propagation de fausses nouvelles est bien décrite par les mêmes modèles SIR qui sont utilisés pour les épidémies. Même en ce qui concerne les informations incorrectes, chacun de nous appartient à l’un des trois ensembles: le sensible, l’infecté ou le guéri. Dommage que nous ayons beaucoup plus de mal à nous placer dans la bonne. Souvent, alors, être sensible aux faux équivaut à se méfier de la vérité. La difficulté d’accepter que quelque chose de radicalement nouveau, « hors de l’ordinaire » se passe est un autre trait profondément humain de notre psyché.
Une forme de réticence à l’égard de l’inattendu, du déroutant et surtout du complexe, a fait en sorte qu’il a fallu des décennies pour que le changement climatique soit accepté par beaucoup. Un mécanisme défensif similaire contre le coronavirus est actuellement en action. Nous n’avons pas d’anticorps contre Covid-19, mais nous avons tout ce qui nous déroute. C’est un paradoxe de notre temps: alors que la réalité devient de plus en plus complexe, nous devenons de plus en plus réfractaires à la complexité.
Et pourtant, ce qui se passe ces jours-ci n’est pas vraiment inconnu. « A Singapour, le gouvernement et les responsables de la santé ont travaillé ensemble pour empêcher la propagation de l’infection. Des mesures draconiennes ont été mises en œuvre non seulement dans les hôpitaux: mise en quarantaine obligatoire pour tous les cas suspects, amendes et condamnations pour ceux qui ne respectaient pas l’isolement, fermeture d’un grand marché, fermeture des écoles, contrôles périodiques de la température pour tous les chauffeurs de taxi. De cette façon, l’épidémie a été apprivoisée « . Il semble qu’il en parle aujourd’hui, au lieu de cela, David Quammen rapporte ce qui s’est passé en 2003 avec Sars. Il décrit des mesures identiques à celles adoptées dans la région de Lodi avec la seule différence dans la sévérité des sanctions pénales, car notre système est basé sur la confiance des citoyens, sur l’axiome de leur pleine collaboration.
« Spillover », le livre de Quammen, mérite à lui seul un article. (Cet article – un essai – est arrivé, Sandro Modeo l’a écrit, et vous pouvez le trouver ici). Il suffit de dire ici que c’est le meilleur moyen de comprendre les différentes facettes, la complexité de cette épidémie. Ne pas le vivre comme une étrange exception ou un fléau divin. Pour le relier à d’autres catastrophes écologiques de notre temps, telles que la déforestation, l’élimination des écosystèmes, la mondialisation et le changement climatique lui-même. Et même pour entrer dans l’esprit du virus, déchiffrer ses stratégies, comprendre pourquoi l’espèce humaine est devenue si gourmande pour chaque pathogène en circulation. Parfois, le débordement est effrayant, c’est vrai, grâce à la chauve-souris noire sur la couverture, et parfois il vous fait même sauter, par exemple lorsque vous demandez – c’était en 2012 – si le Next Big One, la prochaine grande épidémie attendue par les experts, serait causée par un virus et s’il apparaîtra « dans un marché de la ville du sud de la Chine ». Prospective? Non. Juste de la science. Et un peu d’histoire. Étrange que Spillover ne soit pas en rupture de stock sur les étagères, comme les gels et les masques antiseptiques.
